作者 | 李夢樵
來源 | 《中學數學教學》1983年02期
二、《九章算術》
《九章算術》成書于何時已不可考。三國時魏劉徽為《九章算術》作注。序言中有以下一段：“按周公制禮，而有九數，九數之流，則九章是矣。往者暴秦焚書，經術散壞，自時厥后，漢北平侯張蒼（公元前250年—前152年，河南陽武縣人。在秦為御史，漢高祖六年封為北平侯，漢文帝時為丞相歷十五年，享年百余歲)，大司農中丞耿壽昌（公元前73年—前49年)，皆以善算命世。蒼等因舊文之遺殘，各稱刪補，故較其目，則與古或異，而所論者多近語也。” 由此可見，《九章算術》在西周初期已具雛形，以后有所修訂補充。張蒼、耿壽昌兩次刪補，更換篇目，并把古人的敘述換成漢代語言，使《九章算術》成為定本。
據傳古代九章中有“重差”、“夕桀”、“旁要(音腰)”而沒有“勾股”。重差術有劉徽專著，即《海島算經》。旁要、夕桀世無傳本。據清代學者研究，“旁”即“邊”，“要”同“腰” ，“旁要”即研究圓的內接形和外切形；“夕”有“斜”的意義，“桀”古同“磔”，有分裂的意義，“夕桀”當系研究中線、角平分線、高線。由于這些線把三角形分成兩部分，古人重視面積，故名夕桀。旁要、夕桀的失傳，可能是毀于秦火，也可能是張、耿等人從古九章刪去，而“方程”與“勾股”，可能是張、耿等人所加。因“方田”章即有“方程”，“商功”章即寓“勾股”也。
《九章算術》在明代失傳。清乾隆時修《四庫全書》，戴震等從《永樂大典》中輯出。《大典》所載沒有圖形，戴震為之補繪。現存《九章算術》，即戴震所輯出之本，有魏劉微與唐李淳風注釋。另有李潢(乾隆36年進士)著《九章算術細草圖說》九卷，附《海島算經》一卷。
《九章算術》分方田、粟米、衰(音崔)分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股九章，共有246個問題。各章內容摘要敘述如下。
第一章“方田”共38問。主要講計算田畝面積的方法，有方田（正方形)、直田(矩形)、圭田（三角形）、邪田(梯形）、圓田(圓形）、環田(環形）、弧田(弓形）等等。其中方田、直田、圭田、邪田的公式是正確的，圓田、環田、弧田，古法用π=3是粗糙的，弧田的公式并不正確，竟然沿用了二千年之久。劉徽在這里指出，“徑一周三”是內接正六邊形的周長，應該小于圓周，他用割圓法提出π=3.14，后人把3.14叫做徽率。注中又有π=3.1416，清代李潢認為是祖沖之的創造，近代數學家錢寶琮、華羅庚、錢偉長、歷乃驥以及日本三上義夫均認為劉徽所創造，劉徽既發明割圓術，創造π等于3.1416只是一舉手之勞。
這一章中，還講到分數運算法則，在約分術中，講了用輾轉相除法求分子、分母的公約數。
第二章“栗米”共46問。大部分講糧食交換的計算。先規定交換率，用“今有術”（即比例，歐洲叫做三數法則）進行計算。這一章還用到很復雜的復名數化、聚的方法。
第三章“衰分”共20問，是講配分比例和等差、等比數列等問題。
第四章“少廣”共24問，講平面的面積和球的體積。講了開平方、開立方的計算。還有已知球的體積求直徑的方法。
第五章“商功”共28問：是講立體的體積計算，其中名詞，今多已不用。這里用公式表示書中敘述的各種立體的體積的計算方法。
城、垣、堤、溝、塹、渠都是一種平截頭楔形，上下底皆是矩形。上底寬a長c，下底寬b長c，體積V=(a+b)ch。
“倉”是長方體；方堡壔（音島)是上下底都是正方形的柱體，圓堡壔是直圓柱，方亭是上下底都是正方形的棱臺，圓亭是圓臺，方錐是底面為正方形的棱錐，還有圓錐。
塹堵：一矩形柱體依對角面剖開(下圖一)
V=abh
陽馬：底面為長方形而有一棱與底面垂直的錐體(下圖二)
鱉臑(音鬧)：底面為直角三角形而有一棱與底面垂直的錐體(下圖三)
方亭：圓亭：
羨除：楔形體的三個側面不是長方形而是梯形(下圖四)
這個公式歐洲認為是勒讓德(Legendre，1752—1833)發現的，比中國晚了二千年。
芻甍是形如草房頂的楔
芻童、曲池、盤池、冥谷都是長方臺
這些公式都是正確的。最有趣的是芻童公式改寫為：
V=h(2ab+ad+2cd+bc)=h[ab+cd+(ab+ad +cd+bc))=h[ab+cd+(a+c)(b+d)]=h[ab+cd+4×(a+c)×(b+d)]
此處ab是上底面積，命為，cd是下底面積，命為，(a+c)×(b+d)是中截面面積，命為。得V=h與擬柱體的體積公式相同。
第六章“均輸”共28問。是大統一時代，處理國民平均負擔的問題。李約瑟說，歐洲研究這些問題要晚得多。
《九章算術》均輸章的第一個問題：今有均輸粟，甲縣一萬戶行道8日，乙縣9500戶行道10日，丙縣12350戶行道13日，丁縣12200戶行道20日，各到輸所，凡四縣賦當輸25萬斛，用車一萬乘。欲以道里遠近、戶數多少衰出之，問粟、車各幾何？
解：100008 =1250， 950010=950， 1235013=950， 1220020=610，
甲：乙：丙：丁=1250：950：950：610=125：95：95：61
而125 + 95 + 95 +61 =376
(甲)
(乙、丙）
(丁)
由于車數須為整數，用四舍五入法得甲縣出車3324乘，乙、丙兩縣各出車2527乘，丁縣出車1622乘，2500001000=25(斛)，甲縣出粟3324×25=83100（斛)，乙、丙兩縣各出菜2527×25=63175（斛)，丁縣出粟1622×25=40550（斛），李約瑟認為這類問題歐洲很少人提到，至公元8世紀，才在數學難題中出現。
第七章，“盈不足”共20問。是我國古代解決問題的一種巧妙的方法。除盈不足、兩盈、兩不足等問題外，還用來解某些等比數列問題。如第十一問。
今有蒲生一日長三尺，莞(音管)生一日長一尺，蒲生日自半，莞生日自倍，問幾何日而長等。
原解：設為2日，蒲生3+1.5=4.5(尺)，莞生1+2=3（尺)，4.5-3=1.5(尺)(不足)。
設為3日：蒲生3+1.5+0.75=5.25(尺)，莞生1+2+4=7(尺)，7-5.25=1.75(尺)(盈)。
1.75×2+1.5×3=3.5+4.5=8, 8(1.75+1.5)=83.25=2(日)，蒲長3+1.5+0.75×=4.5+=4（尺)，莞長1+2+4×= 413(尺)。
今解：設所求日數為n，有即，
,即, =1則n=0不合，=6則n==2.5849（日)，蒲長=5。莞同。
“今解”與“原解”不一致，是因為“原解”把每日生長率看成勻速，而“今解”把每日生長率看成變速。
第八章“方程”共18問，主要講一次方程組的解法，未知數多達五個。“方”是把一個算題排列成方陣的形式，“程”的古義是度量、程式。
這一章最寶貴的遺產是在全世界上首先突破正數的范圍，提出負數，并提出“正負術”（正負數加減運算法則）。劉徽在注中說，正數用赤籌，負數用黑籌，或將籌斜放（負）和正放（正）來區別。以第八問為例。
今有賣牛二、羊五以買十三豕，有余錢一千，賣牛三、豕三以買九羊，錢適足，賣羊六，豕八以買五牛，錢不足六百，問牛羊豕各買幾何？
書中“術日” （解法），用現在的方程寫出來就是下面三個方程：
2x+5y-13z=1000， 3x-9y+3z=0， -5x+6y+8z=-600。
方程章第13問是不定方程。譯成今文如下：今有五家共井。若用甲家繩2條吊水，缺少的正好是乙家繩1條，用乙家繩三條，缺少的正好是丙家繩一條，用丙家繩4條，缺少的正好是丁家繩一條，用丁家繩5條，缺少的正好是戊家繩一條，用戊家繩6條，缺少的正好是甲家繩一條，如果各家都能得到缺少的一條。都正好吊著水。問井深和五家的繩長各若干？
設甲、乙、丙、丁、戊五家的繩長各為x、y、z、t、u丈，井深為w丈。
則有 2x+y=3y+z=4z+t=5t+u=6u+x=w
得x：y：z：t:u：w=265:191:148:129:76:721。
書中用這些數（如265是2丈6尺5寸)作為答案，可能是根據具體情況，一般井深不超過10丈也不少于4丈。
第九章“勾股”共24問。用勾股定理解答實際問題。例如第六問：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，適與岸齊。問水深、葭長各幾何？”
又如第九問：“今有圓材埋在壁中，不知大小。以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？” （徑指直徑）解法中用到“垂直于直徑的半弦的平方等于直徑被弦所分兩段乘積”這一性質。
第十五、十六兩問是“勾股容方”、“勾股容圓”問題。就是求直角三角形的內接正方形邊長和內切圓直徑問題。
還有一些問題，要用到一元二次方程。這里不一一列舉。
《九章算術》不僅內容豐富，影響也深遠。元朱世杰的《四元玉鑒》和明程大位的《算法統宗》都有類似于勾股章的第六問。“今有方池一所，每邊丈二無疑。中間蒲長一根肥，二尺水面高起。斜引蒲稍至岸，恰與水面相齊，知君明算并無欺，蒲長水深各幾？”后來傳到印度。在印度作家書中有：“平平湖水清可鑒，面上半尺生紅蓮，出泥不染亭亭立，忽被強風吹一邊。漁人觀看忙向前，花離原位二尺遠。能算諸君請解題，湖水如何知深淺？”（引自《趣味幾何學》第69頁）
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