本文轉自數學縱貫線公眾號。
本文作者林開亮，任教于西北農林科技大學理學院。
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我第一次去城里，是在很小的時候——20多年了，也許是小學五六年級，跟著一個種菜的表姑媽推著板車去常德縣城蔬菜市場賣菜。我當時一定頭一次吃到不少好吃的，但現在想不起來了，不過我還記得當時我拆了一個算命先生的臺，為此我表姑媽頗為得意。這種猜姓氏的把戲估計大家都見過，以下是我當時遇到的版本。
首先算命先生會攤開一張百家姓的大圖紙，里頭有很多小格子，每個小格子里有一定數目的姓氏，大圖紙旁邊會放一些小紙片，每張小紙片上會有一定數目的姓氏。他會要求你用有你姓氏的小紙片蓋住大圖紙上那個有你姓氏的格子，然后他“掐指一算”，就報出了你的姓氏。我見識過幾次，沒有不準的，來算命的無不稱奇慨嘆！我也好奇他是怎麼做到的，后來我想明白了，一定是小紙片和蓋住的小格子上只有一個相同的姓氏。我拿起小紙片一對照，果不其然。后來，我也開始賣弄了，只要有人用小紙片蓋好小格子，我就拿起來迅速一對照，結果有幾次比算命先生還先得出結果，我記得當時猜中一人姓蔣（與委員長同姓，所以印象深刻）。他老人家臉上開始不好看了，于是就喝令我一邊玩去。
20多年過去，大街上仍然有算命先生玩這個把戲，仍有不少人疑惑不解，乃至迷信其神。網上有不少朋友追問這個把戲究竟什麼玄機，也有人解密，不過他們似乎沒有真正講明白這一點——如何保證小紙片和蓋住的小格子上只有一個相同的姓氏？例如，見2017年春節期間的一個視頻。
這里我想介紹一個思路（最近偶然想到，算命先生也許用別的，但我想絕不至于比這方法還簡單了），它也許是最簡單的，可以保證每個人都能當一回“神算子”。
首先，我們要有一張大圖紙，上面分布著常見的百家姓。按照百度百科，
《百家姓》，是一篇關于中文姓氏的文章。按文獻記載，成文于北宋初。原收集姓氏 411個，后增補到568個。為簡單起見，我們這里僅選取出現頻率最高的前300個姓氏，以下排名取自網絡（排序是否準確與猜姓氏無關，要緊的是，我們只需要給出一個排序）。
2017年中國人口最多的前300大姓1：李2：王3：張4：劉5：陳6：楊7：趙8：黃9：周10：吳11：徐12：孫13：胡14：朱15：高16：林17：何18：郭19：馬20：羅21：梁22：宋23：鄭24：謝25：韓26：唐27：馮28：于29：董30：蕭31：程32：曹33：袁34：鄧35：許36：傅37：沈38：曾39：彭40：呂41：蘇42：盧43：蔣44：蔡45：賈46：丁47：魏48：薛49：葉50：閻51：余52：潘53：杜54：戴55：夏56：鐘57：汪58：田59：任60：姜61：范62：方63：石64：姚65：譚66：廖67：鄒68：熊69：金70：陸71：郝72：孔73：白74：崔75：康76：毛77：邱78：秦79：江80：史81：顧82：侯83：邵84：孟85：龍86：萬87：段88：漕89：錢90：湯91：尹92：黎93：易94：常95：武96：喬97：賀98：賴99：龔100：文
2017年中國人口最多的前100至200大姓101：龐102：樊103：蘭104：殷105：施106：陶107：洪108：翟109：安110：顏111：倪112：嚴113：牛114：溫115：蘆116：季117：俞118：章119：魯120：葛121：伍122：韋123：申124：尤125：畢126：聶127：叢128：焦129：向130：柳131：邢132：路133：岳134：齊135：沿136：梅137：莫138：莊139：辛140：管141：祝142：左143：涂144：谷145：祁146：時147：舒148：耿149：牟150：卜151：路152：詹153：關154：苗155：凌156：費157：紀158：靳159：盛160：童161：歐162：甄163：項164：曲165：成166：游167：陽168：裴169：席170：衛171：查172：屈173：鮑174：位175：覃176：霍177：翁178：隋179：植180：甘181：景182：薄183：單184：包185：司186：柏187：寧188：柯189：阮190：桂191：閔192：歐陽193：解194：強195：柴196：華197：車198：冉199：房200：邊
2017年中國人口最多的前200至300大姓201：辜202：吉203：饒204：刁205：瞿206：戚207：丘208：古209：米210：池211：滕212：晉213：苑214：鄔215：臧216：暢217：宮218：來219：嵺220：茍221：全222：褚223：廉224：簡225：婁226：蓋227：符228：奚229：木230：穆231：黨232：燕233：郎234：邸235：冀236：談237：姬238：屠239：連240：郜241：晏242：欒243：郁244：商245：蒙246：計247：喻248：揭249：竇250：遲251：宇252：敖253：糜254：鄢255：冷256：卓257：花258：仇259：艾260：藍261：都262：鞏263：稽264：井265：練266：仲267：樂268：虞269：卞270：封271：竺272：冼273：原274：官275：衣276：楚277：佟278：栗279：匡280：宗281：應282：臺283：巫284：鞠285：僧286：桑287：荊288：諶289：銀290：揚291：明292：沙293：薄294：伏295：岑296：習297：胥298：保299：和
300：藺
你現在設想，這300個姓氏被攤在一張具有12個小格子的紙上，每個格子有25個姓，第 i個格子對應的那25個性，其序號恰好對應于那些被12除余i的數，即形如12k+i（其中k=0,1,2，…24 ）的數，例如，
第1個格子所對應的姓，是以下25個（序號形如12k+1，k=0,1,2，…24），我們排成5行5列【此處要感謝啟功先生】：
第2個格子所對應的姓，是以下25個（序號形如12k+2，k=0,1,2，…24）：
類似地，可列出第3個、第4個……第12個格子所對應的25個姓氏，由于劇情需要，我們這里再給出第4個格子所對應的25個姓（其序號形如12k+4，k=0,1,2，…24）：
總共恰好有300個姓氏。注意，為了方便起見，更可取的是，會在每個格子里標注一個數字，表明其中各個姓氏所對應的序號被12除的余數。例如，上圖很可能標記為
接下來到了第二步，構造25張小卡片，每張紙上有12個姓氏。現在也許你都可以猜到怎麼構造了。
第 j 張小卡片上的姓氏所對應的序號為 25l +j , 其中 l=0, 1, 2, …，11。
例如，第1張小紙片上的12個姓氏（對應序號為25l+1，其中l=0,1,2,…，11）為
第2張卡上的12個姓氏（對應序號為25l+2，其中l=0,1,2,…，11）為
…………………………………………………………………………………………
類似地，可以造出全部25張卡片。為劇情需要，我們再列出第16張卡片上的12個姓氏（對應序號為25l+16，其中l=0,1,2,…，11）為
現在我們可以保證，第 j 張卡片與第 i 個格子恰好只有一個相同的姓。這里隱含了一個著名的數學定理，數論中有名的 中國剩余定理。 在我們的情況，它相當于說：
設 i，j 是給定的整數，則在1到300這些數中，有且僅有一個整數 x 同時滿足下述兩個條件：x被12除余 i，x被25除余 j。并且這個x可以這樣求得，令y=25i-24j, 則 x=y+300k，其中k是一個適當的整數， 使得x在1到300之間。注意，要緊的是，12與25互素（即能夠同時整除它們的正整數只有1），且300恰好是它們的乘積。
回到我們原來的問題，不難從上述表達式分析得到下述結果：
若 i≥j，則 x 恰好是第 j 張卡片上的第s個姓氏；這里s=（i-j+1）+12 t，其中t是一個適當的整數， 使得s在1到12之間。注意，根據這個分析，我們不需要知道（或記憶）那300個姓氏的序號，只需要知道，i與j，并且從第 j 張卡片就可以讀出 x，它就在第(i-j+1)個位置——在模12的意義下。只要你會做兩位數以內的加減法，會數數，你就會玩這個把戲了！
好了，道具已經備齊，現在我們可以玩把戲了。
比如在本人的情況，當我告訴了你，我的基本信息是i=4, j=16以后，你立即可以算出
i-j+1=4-16+1=﹣11，
從而s=1（取t=1），也就是說，我的姓在第16張卡片（見上圖）的第一個位置，即我跟紫霞同姓（紫霞當然姓林了，因為她的姐姐青霞的全名是林青霞）：
好了，我想很多人應該會有興趣嘗試一下了，來吧，實踐出真知。只有當你完全準備好以上12+25=37個道具以后，你才能對姓氏在這300個姓氏中的朋友玩轉這個游戲。（無論如何，雖然這營生成本低，我還是希望各位讀者不要學了這把戲去掙錢。你想想，要是做個簡單的減法都能掙錢，那是不是也來得太容易了！請大家盡量轉發分享這篇文章，提醒世人不要被算命先生故作玄虛的雕蟲小技蒙蔽了！）
按照上述原理，你也可以自行設計不同規格的道具（也許一個更好的選擇是600個姓氏，它分解為兩個互素的數24與25的乘積），只要它們滿足中國剩余定理的互素條件即可。對于需要了解中國剩余定理的朋友，我們將在關于初等數論的系列講座中詳談。若要一睹為快，可以參看這里的一個PPT，從射雕到九章——在天大理學院物理系的通俗報告。當你清楚中國剩余定理的本質以后，應該不難理解我這里簡單陳述而未加證明的結論。我們留給有興趣的朋友吧！
小把戲背后其實藏著美妙的數學，對數學愛好者而言，這何嘗不是一種驚喜？
思考：街頭算命先生往往能夠根據你的生肖猜出你的年齡，知道這是為什麼嗎？
比如說，如果我告訴你我屬豬，而且你又能看出，我不足四十一朵花，又超過三十一枝芽，你猜我多大？
為方便你對照答案，可以告訴你，鄙人與下一版《射雕英雄傳》同歲：
下集
昨日我在本號發表的文章算命是胡扯，猜姓卻不然引發了不少讀者和朋友的反響，他們的反饋讓我對這個小把戲有了進一步認識，因此今天我想趁熱打鐵，繼續跟大家分享我的心得。
昨晚七點多鐘發布完公眾微信號，我最先接到本科同學劉新亮的電話，他現在天津耀華中學教數學。他跟我講，看到這篇推送很高興，因為他下周要去到上小學的孩子班上給講點數學，他正發愁講點什麼內容好。看到這個，他眼前一亮，所以立即給我打了一個電話。我也覺得這個題目不錯，至少準備道具很簡單。一個班最多五六十人（準確地說，需要考慮的只是姓氏的個數，鑒于經常有同姓的同學，所以姓氏個數會更少），他準備十來張卡片就夠了（比如說，56=7*8,7+8=15）。這個游戲尤其適合新生開學的第一堂數學課，當學生與老師都還不熟悉的時候，老師如果通過這個簡單的游戲一下子就猜出學生姓什麼，其形象一下子就高大起來了，同時學生們也立即記住了這個學生的姓氏，再進一步讓學生說出自己的全名，這個印象就深刻多了！想到這些，我當時的得意之情，完全可以用下述圖片來形容：
十點多快要入睡時，又收到了好友劉云朋的一條消息（今天上午也有網友在評論區留言表達了相同的意思，非常感謝！），我瞬間切換到下圖：
云朋兄發給我的消息如下：
第一次知道這樣的把戲，很有趣。我有一個表面上稍不同的理解：假設有100個姓，把它們排成10×10的方陣，然后將同一行的姓填入大圖紙中的同一格，把同一列填入同一小圖紙，于是每種大小圖紙的組合就給出這個矩陣的行指標和列指標，從而標記了既處于指定行又處于指定列的那個元素。他說的方法更簡單了，我們就照他說的方法，來玩一個猜百家姓的把戲。首先，我們選取100個姓氏，如昨天一樣，我們不妨從網絡選取下表
現在每一行的10個姓氏放入一個小格子，為讓蒙蔽效果更好，我們可以將這10個姓氏排成三角垛，例如，第1行的10個姓氏（按照自然順序）排成下述形狀
第2行的10個姓氏（按照自然順序）排成下述形狀
依次類推，一直排到第10行。接下來再將每一列的10個姓氏排在小卡片上，如第1列的10個姓氏為
第2列的10個姓氏為
為劇情需要，我們再給出第6列的10個姓氏
好了，道具20張紙備齊以后，我們就可以來玩猜姓把戲了。比如，你可以確認一下，紫霞的姓（林，表格中對應坐標16）是不是滿足這樣的規律，它恰好在第6列的第2個位置。再如，你也可以驗證金庸《倚天屠龍記》里那位風一樣的女子的姓（楊，表格中對應坐標06）是不是也滿足這樣的規律。
容易發現，與上一篇介紹的用中國剩余定理的方法相比，劉云朋老師（任教于天津大學理學院物理系）介紹的上述方法更簡潔，我反思了一下，發現我們的差別可以這樣理解：
我之前思路是一維的（用數為坐標），而云朋兄這里的思路是二維的（用二個數為坐標）。他進化得比我多些。另一方面，原先的思路由于其復雜性，可能更不容易被外行發現。街頭的各路神仙也許傾向于采取云朋這里的方法。如果學生與老師都熟悉了，當然就不必猜學生的姓名了，這時候可以改為猜學生母親的姓氏（只考慮那些隨父親姓的同學）。
而對于街頭的各路神仙，可以改為猜各位的意中人的姓氏，牛皮可以這樣吹：“你的意中人姓什麼，除了你和你的意中人知道，半仙我也知道！來，我告訴你上天給你安排的姻緣在哪里。”
當來者發現你猜對意中人的姓氏，有了這樣的表情
以后，作為半仙的你還可以借機發揮一下：
到了這個時候，咱們也可以見好就收了！要防著，人家也許有兩個同姓的意中人，還是留給TA自己取舍吧！
作者注1：上一篇有讀者“青青子衿”留言說“我只知道小編愛上了紫霞”，我想更正一下，是作者本人愛上了紫霞（文中圖片均作者自己配好），有本篇為證，也可見本人更早一篇作品，從“三七二十一”到“素數之無窮”。
作者注2：有學數學出生的朋友告訴我，他也曾遇到類似的半仙，也前去拆臺，幸而他從半仙充滿殺氣的眼神中預算到可能要被滅口，這才撿回一條命，終究當上了老總。故事雖然夸張，但在情理之中。建議大家不要當面拆臺（風險太大，在社會上終止問題的可能是拳腳），可以考慮當個娛樂游戲在公眾場合多普及，也許上當的人就少了。
作者注3：留言區有朋友認為，這個把戲用到了數學，有文化內涵，更有美好祝福，憑此哄點小錢也未嘗不可。對此，我倒不反對，但我覺得這主要就是一個娛樂——當然，你要是把人逗樂了，收點錢人家估計也會給。不過，從猜姓把戲中獲得樂趣的，主要是半仙，TA為自己披上了神秘色彩；作為前來測試的人，自己當然知道自己姓什麼，更沒有必要讓半仙知道自己姓什麼。
作者注4：我想強調的是，猜姓與算命不同，前者是有理有據的，而后者則是胡扯、唬人，比如，《飯局也瘋狂》里的大師：
游戲玩一玩無妨，可是坑蒙拐騙就不要參與了，傷感情。圈圈套套，無非圖個財與色。我喜歡開門見山，正大光明，簡單粗暴，像這樣：
或者稍微含蓄一點，又不失果決，像這樣：
如果你了解我，我想你應該猜得到，我期待的回應是怎樣的：
全劇終
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