全等三角形太難了?不會添加輔助線?
在全等三角形的證明題中,經常會遇到證明“關系”的題目。“關系”一般包括“數量關系”和“位置關系”,常見的“數量關系”為相等,有些題目也考查倍數關系、和差關系;常見的“位置關系”為平行或垂直,還有一種比較特殊的關系,那就是垂直平分。本篇主要介紹“位置關系”中的垂直。證明垂直暫時有兩種方法,先介紹其中一種證明垂直常用的方法,那就是通過證明兩個銳角互余進而證明垂直,當然有時也可以選擇利用“8”字形進行證明。
例題1:已知:如圖,在△ABD中,BC⊥AD于點C,E為BC上一點,AE=BD,EC=CD,延長AE交BD于點F.求證:AF⊥BD.

分析:先通過HL定理(斜邊—直角邊定理)證明△ACE≌△BCD,可得到∠CAE=∠CBD,由∠CAE+∠AEC=90°,∠AEC=∠BEF,推出∠CBD+∠BEF=90°。在三角形中,兩個銳角互余,即可得到另外一個角為直角,即可證明兩條線段垂直。
本題也可借助“8”字形,通過全等可得∠EAD=∠CBD,再加上對頂角相等(∠AEC=∠BEF),即可得到∠BFE=∠ACE=90°。
證明兩個直角三角形全等需要找準判定定理,不能看到直角三角形就用HL定理,前面學習的SAS、ASA、AAS等定理也可以使用,兩個直角三角形需要滿足斜邊對應相等,和一條直角邊對應相等時才能利用HL定理證明兩個直角三角形全等。
例題2:已知:如圖,在正方形ABCD中,AD=AB,∠DAB=∠B=90°,點E,F分別在AB,BC上,且AE=BF,AF交DE于點G.求證:DE⊥AF
分析:已知△DAE與△ABF為直角三角形,本題所給的條件為AD=AB、AE=BF,兩條都是直角邊,不能用HL定理證明,應該用SAS證明兩個三角形全等。由此得到∠BAF=∠ADE,由于∠BAF+∠DAF=90°,通過等量代換得到∠ADG+∠DAG=90°,從而可以證明DE⊥AF。
如果題目中證明兩條線段的“關系”,那麼還需要證明兩條的數量關系,即證明AF=DE。
例題3:如圖,在等腰直角三角形AOB中,∠AOB=90°,在等腰直角三角形EOF中,∠EOF=90°,連接AE,BF.求證:AE⊥BF.

分析:兩個三角形都為等腰直角三角形可得OA=OB、OE=OF,借助“手拉手模型”可發現證明△AOE≌BOF,由∠AOB=∠EOF=90°同時減去∠BOE得到∠AOE=∠BOF(等角加減等角得等角,隱含條件之一),通過“SAS”可證明兩個三角形全等。要證明AE⊥BF,可先延長AE交BF于點D,通過證明兩個銳角互余得到結論。
在后續的學習過程中,還會學習其它證明垂直的方法。
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